開梅

這則文章寫自1987年，裡頭簡短的計算滿有趣的，不過身處在21世紀天氣萬變的時代，人的一生遇到5次氣象史上破紀錄應不止4、5次吧？感覺有好多次喔！

氣象紀錄與機率


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炎炎溽暑，又逢颱風季節，今年的夏季最高氣溫和颱風挾帶的豪雨，是否又如已往般的再度改寫氣象紀錄呢？去年十月廿三日至廿六日的琳恩颱風，在台北地區帶來豪雨，使許多地點的單日降雨量均打破已往紀錄，造成了重大災害。

在閱讀本文之前，你是否曾想過創新氣象紀錄是否和刷新運動紀錄一樣容易而且頻繁？在人的一生當中（假定是100年），可以預期看到幾次新締造的氣象紀錄？

氣象紀錄的特性

基本上，氣象紀錄和運動場上的紀錄並不一樣。運動場上的紀錄是由運動員締造的，運動員時時刻刻都在努力，他們想盡各種方法去超越前人的紀錄。所以在運動場上打破紀錄的報導時有所聞，不足為奇。反之，在自然界中出現最高氣溫、最低氣溫、或降下最大降雨量等氣象紀錄，卻相當稀罕。造成這種現象的主要原因乃是：前者是人為的，後者是非人為的；前者是非隨機現象，而後者是隨機現象。

從統計學的觀點來看，隨機現象乃是樣本的選取，完全由機會決定，不受任何人為影響。譬如擲一粒非常勻稱的骰子，得到1、2、3、4、5和6點的機會通通一樣，都是1/6。又如擲一枚鑄造非常完美的10元硬幣，得到人像和梅花的機率各有為1/2。像這些現象，各個事件出現的機會都相等者，就是隨機現象。

就氣象觀點而言，今年出現的最高氣溫和明年出現的最高氣溫之間，並無直接關係；同樣，今年的降雨量和明年的降雨量之間，也無直接關係。除非我們能證明氣象紀錄是由冥冥中的老天爺控制著，而且祂也是像運動員一樣，存心要時時重新締造氣象紀錄，否則我們乃將氣象現象當做隨機現象來處理。當然，隨著科技的進步，有朝一日人類若能夠主宰全地球的氣候變化時，上述的假設也就不成立了。

氣象紀錄的期望期

我們已假設氣象現象是一種隨機現象。對任何一種隨機現象而言，我們預期它可能出現的平均數即是期望值（expectation）。例如，張三擲一粒骰子，規定出現1點得1元，2點得2元，……，6點得6元，那麼張三擲一粒骰子一次，平均可得若干元？又如，李四擲一枚硬幣，規定出現人像得2元，出現梅花得1元，那麼李四擲一枚硬幣一次，平均可得若干元？這兩個題目的期望值如何計算呢？

就數學而言，若有一個變數x，其各個變量出現的機率密度為f(x)（連續事件）或Pi（不連續事件）則其期望值E（X）之定義如下：

【瀏覽原件】（不連續事件）

【瀏覽原件】（連續事件）

根據上面公式，我們可以計算張三和李四的平均得款數目如下：

張三平均得款為

【瀏覽原件】

李四平均得款為

【瀏覽原件】

現在我們再來看看氣象紀錄的期望值。譬如，以年總降雨量為例，10年當做一個期間，若創造紀錄得1分，未破記錄得0分，則10年間，破紀錄的平均分數（即次數）是多少？

毫無疑問，第一年一定是創造紀錄，因為它根本就無紀錄可供比較，所以第一年破紀錄的機率是1。第二年的總降雨量可能超過第一年，也可能不超過第一年，所以要刷新紀錄的機率應該是1/2。第三年的年總降雨量要創新紀錄的機率1/3。其餘者依此類推，第十年的年總降雨量要創新紀錄的機率則為1/10。因而10年期間，破紀錄的期望值如以：

【瀏覽原件】

由上述計算，可以得到10年期間破紀錄的次數是2.92次，非常接近3次。

那麼20年、30年或更長的年數，我們可望會碰到幾次氣象紀錄被重新改寫呢？不難推知。

氣象實例

理論上的創新氣象紀錄的期望值可由上述公式求得，那麼在實際生活當中，締造新的氣象紀錄次數是否都遵守上述法則呢？茲以台北市最近20年（1967～1986年）之年降雨量為例，做一說明。下表是台北最近20年來的年降雨量資料。

首先討論20年為一期間之氣象紀錄。第一次締造紀錄自然是1967年的1643.7公厘；1968年打破紀錄，為2020.8公厘；1969年再破紀錄，為2550.1公厘；一直到1984年，才又再破紀錄，出現2711.3公厘，以迄1986年。20年期間中，共創紀錄4次。在理論計算中，20年期間創新紀錄的次數是3.60次。由此可知，兩者之間相當一致。

再進一步，以10年期間為準，檢查理論與實際情形之差異。先以1967年～1976年的10年期資料來看，第一次紀錄是1967年的1643.7公厘；第二次創新紀錄是1968年的2020.8公厘；第三次是1969年的2550.1公厘。10年當中，共創新紀錄3次。再以1977～1986年的10年期間資料為準，第一次紀錄為1977年的2486.7公厘；第二次創新紀錄是1984年的2711.3公厘。這10年期間，創新紀錄共有2次。從理論上而言，10年期間的創新氣象紀錄次數應該是2.92次。由此可知，台北這二個10年期間的創新紀錄次數，也相當符合理論次數。

讀者如有興趣，試算算在人類一生當中，若平均壽命是70歲，那麼可望遇上幾次創新氣象紀錄？想獲得答案，應該不難，只要將1、1/2、1/3、……1/70加起來即可，約是4.83，很接近5。若人類平均壽命延長到100歲，那麼又可碰上多少次創新氣象紀錄呢？很不幸，次數並無明顯增加，理論值是5.18，仍在5次左右。由此可以推測，在我們一生當中，可望遇到5次締造新的氣象紀錄。

姜善鑫任教於台灣大學地理系